G-estimationのコンセプトを簡単に理解する

G-estimationって聞いたことありますか？

因果推論の手法なのですが、おそらく知らない方がほとんどだと思います。

それで問題ないし、使いこなすのはとても難しい概念です。

IPWと並ぶ、time-varying confounder/ covariateの調整に使う方法なのですが・・・

もしかして興味ある方がいるかも、と思い、この記事で解説します。

G-estimationのコンセプトを簡単に理解する

G-estimation。

臨床研究や疫学のlectureで、ごくたまに目にすることがあるかもしれません。

はっきり言ってG-estimationを使って論文を書ける人は、世の中にほとんどいません。

（自分も書いたことありません）

なのではっきり言って、ほとんどの方が知らなくて良い知識です。

でも、応用すべき状況もあります。

興味のある方のために。

この記事ではG-estimationのコンセプトを解説します。

*以下、exposure: A, outcome: Y, confounders: Lです。簡便のため、AとLは0-1の変数（dichotomous）、Yは連続変数とします。

Structural nested model (SNM)

いきなり難しそうな単語が出てきましたが、これは単純です。

「conditional causal effectを直接算出する式」の事を言います。

*conditionalとは、「confounder (L)がある値の場合に」という意味で、数式では「｜L」でした。

SNMとは、

E[Y^a – Y^a=0 | A=a, L=l] = β₁a +β₂aL

ということなのですが、、、

小文字が定数（0とか1とか）なので、aを1とすると、

E[Y^a=1 – Y^a=0 | A=1, L=l] = β₁ + β₂L

となるわけです。

conditional causal effectとは、まさにこの左辺。

Lに依存するわけですが、これこそがeffect modificationというわけです。

・L=0ならβ₁

・L=1ならβ₁ +β₂

ですからね。

ちなみにaを0とすると右辺も左辺も0になりますね。

以下、更に簡略化して、effect modificationは無いと考えてやってきます。

つまり、

E[Y^a – Y^a=0 | A=a, L=l] = β₁ * a

というSNMを考えます。

求めたいのはconditional causal effect = E[Y^a=1 – Y^a=0 | A=1, L=l] = β₁

です。

G-estimation: 5つのステップ

ステップ1：全員に対し同じ効果がある、という強い推定をする

constant treatment effect、と言います。

本当はG-estimationには必要のない推定なのですが、これを導入すると理解が簡単です。

実際求めたいのは「Y^a=1 – Y^a=0 | A=a, L=l」の平均ですが、全員に同じcausal effectがあるという推定です。

全員に対し、

Y^a – Y^a=0 =ψ₁ * a

ということです。

*ψ₁は定数。求めたいβ₁を意味します。

ステップ2：式を変形

Y^a – Y^a=0 = ψ₁ * a

を

Y^a=0 = Y^a – ψ₁ * a

としました。

ステップ3：consistencyを用いる

実際に観測されているAはaなので、上の式は「| A=a」なわけです。

つまり、exposureであるAがa（定数、0か1）だと観察されている場合の、「Y^a=0 = Y^a –ψ₁ * a」というわけです。

Y^a はcounterfactualですが、aは実際に観察されている値なので、Y^a = Y（consistency）ですね。

...詳しくは、Y^a | A=a = Y | A=a

ということで上記式は、

Y^a=0 = Y – ψ₁ * A

となります。

ステップ4：もしψ₁ の値を知っていたとしたら・・・？

ψ₁ は求める対象ですが、もし知っていたとしたら。

Y^a=0 = Y – ψ₁ * A　の右辺を、それぞれの参加者に対して計算できますね。

左辺はcounterfactualなので、それが計算できてしまうなんて驚きですね。

（constant treatment effectと、もしψ₁ の値を知っていたとしたら、という大きな2つの推定に基づいているからです）

次のステップで、色々な「potential ψ₁ 」の値をテストするので、

それぞれの「potential ψ₁ 」に基づく右辺の計算結果をH (ψ)とします。

つまり、H (ψ) = Y – ψ₁ * A　

で、

色々なψのうちの一つが、真実のψ₁ だというわけです。

ステップ5：Aを従属変数とするモデルでテストする

Logit Pr [A=1 | L, H (ψ)] = γ0 + γ₁* H (ψ) + γ₂*L

というモデルです。

解説すると、

・左辺はLとH (ψ)が一定とした場合にA=1である確率を推定する、ということ。

・右辺は、単純にLとH (ψ)をlinearにつなげているだけ。

ここで、もしψが本当のψ₁だったら、H (ψ) = Y^a=0 となるのでした。

さらに、conditional exchangeabilityから、

Y^a ||  A, L

なのでした。

この意味は、Lが一定だとした時に、counterfactual outcome (Y^a)とexposure (A)は独立だということ。

独立というのはバラバラに動くということなので、

Logit Pr [A=1 | L, H (ψ)] = γ0 +γ₁* H (ψ) +γ₂*L

の

「γ₁」は0になるはず！！！

つまりたくさんのψでH (ψ) を計算し、それぞれを上のモデルに当てはめて、γ₁ = 0に一番近くなった場合こそが、ψ=ψ₁ と言えるのだ！！！

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以上です。

最低限、因果推論に関する基本を知っていることが前提なので、意味不明な箇所があったら、是非基本にかえりましょう。

ではまた。