Mediation analysisその5:具体的に計算する

mediation analysis5章、ついにCDE, NDE, NIEを具体的に計算します。

統計ソフトがやってくれますが、実際に自分の解析に使いたいなら、これを理解することは必須です。

今までの知識が前提となるので、是非この記事の前にご覧ください。

 

 

Natural direct effect (NDE)とnatural indirect effect (NIE)を求めたい

Natural direct effect (NDE)とnatural indirect effect (NIE)を求めたい

今まで通り、exposureをA、mediatorをM、outcomeをY、confounderをCとします。

counterfactualをY(a=1)などと表します。

勘弁のためAとMは0-1の変数とします。Yは連続値とします。

*Yが0-1の場合は計算式が少し異なります。

 

復習です。

Assumptionが4つあり、それが成り立つ時、

 

✔︎(pure) NDE = Y(a=1, m=M(a=0)) - Y(a=0, m=M(a=0))

= ∑{E[Y|A=1,M=m,C=c] - E[Y|A=0,M=m,C=c]} * Pr(M=m|A=0,C=c) * Pr(C=c)

 

✔︎(total) NIE = Y(a=1, m=M(a=1)) - Y(a=1, m=M(a=0))

= ∑E[Y|A=1,M=m,C=c] * {Pr(M=m|A=1,C=c) - Pr(M=m|A=0,C=c)} * Pr(C=c)

 

となるのでした。

*以下M=mm, C=ccと略します。

 

 

Regression approach

上のNDEやNIEを求める方法はいくつかありますが、まず基本的なregression approachを紹介します。

以下のような、普通のregressionを考えます。

 

A→M: E[M|A=a, c] = β0 +β1*a +β2*c

A→Y: E[Y|A=a, m, c] = θ0 +θ1*a +θ2*m +θ3*a*m +θ4*c

*これはexposure*mediatorのinteractionがありますね。traditional methodではこのinteractionを考えることができないのでした。

 

このとき、

CDE(m) = θ1 + θ3*m 

 …これはA→Yのregressionからです。aが0→1に動いたときのE[Y|A=a, m, c] の差ですね。

 

NDE = θ1 + θ3*(β0 + β1*0 + β2*C)

 …これはA→Yのregressionでaを0→1に動かした結果です

 →a*mのmの部分をA→Mのregressionの結果E[M|A=a, c]に置換したものですね。

 

NIE = θ2*β1 + θ3*β1

 …これはtraditional methodのproduct method + θ3*β1

 →θ3*a*mのaに1, mにβ1を代入したものですね。

 

こうなります。

 

ここで重要なポイントです。もしA*Minteractionがなかったら??

·NDE = θ1 = CDE(m)

·NIE = θ2*β1

となります。

NIEはproduct methodの結果となり、NDEはCDEと同じとなります!!!!!!!

 

つまりNDEやNIEは、exposure-mediatorのinteractionを考えるための手段であることが再確認されます。

 

他のアプローチ

以上がregression approachですが、他にも方法があります。

より良いと思われる方法は、Monte Carlo Approachです。

これはregression approachと同様のモデルなのですが、方法が異なります。

 

・まず、上の2つのregression modelを作ります

→「A→M」のモデルで「全員A=0」とcodingしたデータセットでpredictし、M(A=0)を計算します

→「A→Y」のモデルに、「全員A=1」かつ上で計算したM(a=0)でpredictします

これでそれぞれのY(a=1,m=M(a=0))が計算されます

最後にこれを平均します

 

これの何がよいかというと、それぞれの参加者に対するNDEやNIEが求められると言うことです。

これによって、0-1のoutcomeに対するNDEやNIEをリスク比として求められるのです。

 

*regression approachでは、基本的にlogistic regressionにfitすることしか出来ないので、オッズ比しかわかりません。

→outcomeがrareだ、という仮定の下、オッズ比をリスク比に近似するしかないのです

 

以上です。

ではまた。

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