mediation analysis第6章、effect decompositionです。
Total effectを、様々なeffectに分解する、という意味合いです。
これがわかると、とりあえずcausal mediation analysisを一通り学んだことになるだけでなく、色々繋がってスッキリします！
頑張りましょう！
Causal interaction
今まで通り、exposureをA、mediatorをM、outcomeをYとします。それぞれ0-1の変数。
counterfactualをY(a=1)などと表します。
Effect decompositionのために、まずcausal interactionについて考えます。
一番基本的なinteraction定義は、「どっちもあるとき、片方だけでない効果が認められること」です。
つまり1+1=2にならない事を、interactionといいます。
*これはプラス·マイナスのスケールのinteraction（additive scale）です。
→いわゆるlogistic regressionやCOX proportional modelでのinteractionはmultiplicative scaleのinteractionで、別物です
→しかし重要なのはadditive scaleのinteractionなのでした。
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さて、これをcounterfactualで考えましょう。
今、Yに対するAとMのinteractionを考えています。
すると、
「A=0かつM=0」の状態がreferenceであり、これと比較し
「A=1かつM=0」の結果＋「A=0かつM=1」の結果が「A=1かつM=1」の結果と同じにならない
ということが「causal interaction」の表現となります。
数式でかけば、
{Y(a=1,m=0)-Y(a=0,m=0)} + {Y(a=0,m=1)-Y(a=0,m=0)} ≠ {Y(a=1,m=1)-Y(a=0,m=0)}
じゃあ「どれくらいinteractionがあるのか」というのは、これらを引けばよく、
Y(a=1,m=0)-Y(a=1,m=0)-Y(a=0,m=1)+Y(a=0,m=0)
となります。
これがcausal interactionの量です。
Effect decomposition
Total effect (TE) = Y(a=1) - Y(a=0) = Y(a=1,m=M(a=1)) - Y(a=0,m=M(a=0))
を分解したいのです。
証明の詳細は論文に譲りますが、結果から言うとこういう式にになります：
TE
= Y(a=1,m=0) - Y(a=0,m=0)
+ {Y(a=1,m=0)-Y(a=1,m=0) - Y(a=0,m=1)+Y(a=0,m=0)} * M(a=0)
+ {Y(a=1,m=0)-Y(a=1,m=0) - Y(a=0,m=1)+Y(a=0,m=0)} * {M(a=1)-M(a=0)}
+ {Y(a=0,m=1)-Y(a=0,m=0)} * {M(a=1)-M(a=0)}
一見意味不明です。
が、これに解釈を与えることができる、というのがポイントなのです。
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言葉で書くとこうなります：
TE
= controlled direct effect
+ もしA=0の時M=1だったらcausal interaction（referent interactionと言います）
+ もしA→Mの効果があったらcausal interaction（mediated interactionと言います）
+ pure natural indirect effect (*いわゆるNIE=total NIEではありません)
なぜこれが面白いかというと、さらに式変形できるから。
✔︎CDE + referent interaction = pure NDE
✔︎mediated interaction + pure NIE = total NIE
なのです！！！！
*そもそもTE = pure NDE + total NIEでしたね
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噛み砕いていえば、こうなります：
CDEとは：direct effectでありcausal interactionを介さない部分
referent interactionとは：direct effectでinteractionを介す部分
mediated interactionとは：mediated effectのinteractionの部分
pure NIEは：mediated effectのinteractionを介さない部分
面白いですね！！！
*(referent interaction + mediated interaction) / TE
を「proportion attributable to interaction (PAI)」とも言います
これでお終いです
ここになって、ようやくpure/total NDE/NIEが結びついてきました。
pureというのは「causal interactionの影響がない」という意味が含まれていたのでした。
ここまでの事がわかれば、causal mediation analysisが何たるか、基本が理解できたことになります。
ただ、やはりNDEとNIEを求めるための4つのassumptionは成り立つ場面が少なく（ほとんどなく）、かつcross-world exchangeabilityが成り立たないと考える研究者がいるので、そもそもこういった指標を使うべきかはよく考える必要があります。
CDEを使うことに関しては、そこまで問題になりません。
mediation analysis、理解できたでしょうか？
お疲れ様でした。
ではまた。