オッズ比とリスク比の違い、ロジスティック回帰の原理

オッズ比とリスク比。よく混同される違いで、大事です。

この違いはロジスティック回帰の原理とも関連します。

これを説明されているサイトを頻繁にみますが、この記事ではよりわかりやすく、プラクティカルに説明しました。

オッズとリスクの違いをインフルエンザで説明する

病気にかかるリスクを考えましょう。

1年で120人の内20人がインフルエンザにかかるとします。

インフルエンザにかかる確率＝リスクは、20/120=1/6です。

オッズはというと、かかる人÷かからない人なので、20/100=1/5です。

リスクがわかればオッズが簡単に計算できますね。

大事なポイントは、

リスクは確率なので0~1の間。

オッズは1以上にもなりうる（最大＋∞）。

ということです。

インフルエンザにかかる人の方がかからない人より多かったら、オッズは1を越えますよね。

オッズ比とリスク比の違いをインフルエンザで説明する

ワクチンを受けた人は、120人の内10人しかかからないとします。

リスクは10/120=1/12

オッズは10/110=1/11です。

ワクチンを受けることによるリスク比は、

1/12 ÷ 1/6 = 1/2、リスクは50%になりました。

オッズ比は、

1/11 ÷ 1/5 = 5/11 =0.45, オッズは45%になりました。

比をとっただけです。

リスク比からオッズ比が計算できるか？

リスク比からオッズ比を計算することはできません。逆も然り。

*当前ですが、2つのリスクが分かってればリスク比もオッズ比も計算できるし、

2つのオッズがわかっていればリスク比もオッズ比も計算できます。

なぜオッズ比が大事か？

logistic regressionでオッズ比が計算されるからです。

例えばアスピリン投与による3年間の死亡率の違いを検討するとします。

交絡因子として性別、年齢、心筋梗塞の既往を考えてロジスティック回帰をすると

Log（死亡のオッズ）＝β0＋β1*アスピリン＋β2*性別＋β3*年齢＋β4*心筋梗塞の既往

（β0〜β4は何らかの数値）

となりますね。

性別、年齢、心筋梗塞の既往が同じで、アスピリンが違うだけの集団で左辺・右辺とも差をとると、

左辺はLog（アスピリン有り集団の死亡のオッズ）– Log（アスピリン無し集団の死亡のオッズ）

右辺はβ1

になります。

Logの差はLogの中身の比になるので、

Log（死亡のオッズ比）＝β1

よって、

死亡のオッズ比＝exp（β1）

となりオッズ比が計算されるのです。

なぜ左辺がLogなのかということ、こういう事なのです。

左辺の比が右辺の差で表せるから！

考えた人頭いいですよね。

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さて、「なぜそもそも死亡のオッズが左辺なの？」と思うでしょう。

もし死亡のリスクが左辺だったらリスク比が計算できて、オッズ比より感覚的にわかりやすいのに。

なぜわかりにくいオッズ比にしているのか？

最初に説明したとおり、

リスクは0から1の間

オッズは0から＋∞

の値を取ります。

すると

Logリスクは−∞（Log 0）から0（Log 1）の間

Logオッズは−∞から＋∞（Log＋∞）の間

をとります。

ちょっと右辺を考えてみると、

右辺は（係数✕因子）が単純に＋で繋がれている式なので、値としては−∞から＋∞を取りうる（取りたい）わけです。

仮に左辺がLogリスクだったら、上限は0にならねばなりません。でも算数でそんなの保証されませんね。だからモデルとしては正確性に欠けます。

なのでLog オッズなのです。

実はLogistic regressionでリスクは計算できるが・・

各々のsample（参加者）については、Logisticモデルの式の右辺を計算することで、Logオッズがわかります。

オッズがわかるので、リスクもわかります。

その人のリスクがわかるわけです。

でも求めたいリスク比はわかりません。

そもそもLogistic modelというモデルに当てはめて、「年齢・性別・心筋梗塞の既往が同じでアスピリンの有無だけ異なる時に、死亡リスク・オッズがどれほど異なるか」という事を考えているわけです。

求めたいオッズ比はとは一つの値でありLogistic regressionのβ1です。

どうやってリスク比を求めるのでしょうか。導出不可能なのです。

もしできるんなら皆使ってますよね。

まとめ

研究ではLogistic regressionを多用するため、オッズの理解が必要です。

Logistic regressionは大変光明な手段でオッズ比を計算しています。リスク比は計算不能です。

ではまた。